Question

【题目】已知：在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．

（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，

①直接写出线段AE，MD之间的数量关系；

②延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，探求sin∠PCB的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①AE＝2DM，理由见解析；②

【解析】

（1）由题意知∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM故有△ABE∽△DBM，从而得到AE：DM＝AB：BD，而∠ABC＝45°，再得到AB＝BD，则有AE＝MD；

（2）①由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB＝2BM，进而确定出AE与DM的关系；

②由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD＝∠AEB＝90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由锐角三角函数的定义求得AD、ND的值，进而求得tan∠PCB的值．

（1）证明：如图1，连接AD．

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC．

又∵∠ABC＝45°，

∴BD＝ABcos∠ABC，即AB＝BD．

∵∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM，

∴△ABE∽△DBM．

∴＝＝，

∴AE＝MD．

（2）①如图2，连接AD，EP，过N作NH⊥AC，垂足为H，连接NH，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

又∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∠DAC＝30°，BD＝DC＝AB，

∵∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM，

∴△ABE∽△DBM，

∴＝＝＝2，∠AEB＝∠DMB，即AE＝2DM；

②∵△ABE∽△DBM，

∴＝＝＝2，

∴EB＝2BM，

又∵BM＝MP，

∴EB＝BP，

∵∠EBM＝∠EBA+∠ABM＝∠MBD+∠ABM＝∠ABC＝60°，

∴△BEP为等边三角形，

∴EM⊥BP，

∴∠BMD＝90°，

∴∠AEB＝90°，

在Rt△AEB中，AE＝2，AB＝7，

∴BE＝＝，

∴tan∠EAB＝＝，

∵D为BC中点，M为BP中点，

∴DM∥PC，

∴∠MDB＝∠PCB，

∴∠EAB＝∠PCB，

∴tan∠PCB＝．