Question

已知点O为等边△ABD的边BD的中点，现将一个∠α=120゜的角放在点O处，∠α的两边分别交直线AB、AD于E、F．
（1）如图1，当点F与A重合时，求证：OE=OF，AE+AF=AB；
（2）如图2，当点F在线段AD上（不与A、D重合时），上述两结论是否成立，并证明；
（3）如图3，当点F在DA的延长线上时，AE、AF、AB之间的关系式为______．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD．∠DAB=∠ABD=∠D=60°
∵点O是BD的中点，
∴DO=BO=BD．∠AOD=∠AOB=90°，
∴∠BAO=30°．
设AB=AD=BD=2a，
∴DO=BO=a，
∵∠AOE=120°，
∴∠E=30°，
∴∠BAO=∠E，
∴AO=EO，即FO=EO，
∵AE+AF=3a，AB=2a，
∴AE+AF=AB．
（2）证明：如图2，过点O作OC∥AB交AD于点C，
∴∠DCO=∠A=∠DCO=∠ABD=60°，
∴∠DOC=60°，∠ACO=∠BOC=120°．
∴△CDO是等边三角形，
∴CO=DO，
∴CO=BO=AC．
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD．∠DAB=∠ABD=∠D=60°，
∴∠OBE=120°，
∴∠OCF=∠OBE．
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠COF+∠FOB=∠BOC=120°
∴∠FOC=∠EOB．
在△COF和△BOE中，
，
∴△COF≌△BOE（ASA）．
∴FC=EB．OF=OE．
∵AE+AF=AB+BE+AF，
∴AE+AF=AB+AC
设AB=AD=BD=2a，
∴DO=BO=a，
∴AB+AC=3a，
∴AB+AC=AB，
∴AE+AF=AB．
（3）如图3，过点O作OC∥AB交AD于点C，
∴∠DCO=∠A=∠DCO=∠ABD=60°，
∴∠DOC=60°，∠ACO=∠BOC=120°．
∴△CDO是等边三角形，
∴CO=DO，
∴CO=BO=AC．
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD．∠DAB=∠ABD=∠D=60°，
∴∠OBE=120°，
∴∠OCF=∠OBE．
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠COF+∠FOB=∠BOC=120°
∴∠FOC=∠EOB．
在△COF和△BOE中，
，
∴△COF≌△BOE（ASA）．
∴FC=EB．OF=OE．
∵AE=AB+BE，
∴AE=AB+CF，
∴AE=AB+AC+AF，
∴AE-AF=AB+AC．
∵AB+AC=AB，
∴AE-AF=AB．
故答案为：AE-AF=AB．
分析：（1）等边△ABD的边长为2a，根据等边三角形的性质就可以求出OD=OB=BE=a，由勾股定理就可以求出OA的值，就可以得出结论；
（2）如图2，过点O作OC∥AB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论；
（3）如图3，过点O作OC∥AB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论．
点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键．