[题目]对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C.给出如下定义:若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A.B两点.在P.A.B三点中.位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时.则称点P为⊙C 的相邻点.直线l为⊙C关于点P的相邻线．(1)当⊙O的半径为1时.①分别判断在点D(.).E(0.).F(4.0)中.是⊙O的相邻点有 ,②请从①中的答案中.任选一个相邻点.在图1中做出⊙O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．

（1）当⊙O的半径为1时，

①分别判断在点D（，），E（0，），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有__________；

②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程．

③点P在直线上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

【答案】（1）①点和点②见详解③（2）

【解析】

（1）由相邻点定义可知：在内的点必为相邻点；在外的点必须满足，其中点是的中点且，因此若半径为的有相邻点，则的长必须满足且，分别求出、、到的距离即可判断；求出直线与坐标轴的交点分别为、，有前面的结论可知点的横坐标取值范围为：；

（2）根据（1）可知且，点在线段上移动，因此点在以点为圆心，半径为的圆内，且不能以点为圆心，半径为的圆上，再根据点在轴上，即可得出点的横坐标取值范围为：．

解：（1）由定义可知，当点在内时，由垂径定理可知，点必为的相邻点，此时;

当点在外时，设点是的中点，连接交于点，并延长交于点，连接、，如图：

∵，

∴

∵

∴

∵点是的中点

∴

∵的半径为

∴

∵是的弦

∴

∵点在外

∴

∴当点在上，即时，不符合题意；

∴综上所述，半径为的，当点与的距离满足且时，点为的相邻点．

①∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴点和点是的相邻点；

②连接，过点作的垂线交于、，如图：

③如图：

∵当时，

当时，

∴直线与坐标轴的交点为、

∵点在直线上，且点是的相邻点

∴，

∵点在外

∴

∴点的横坐标取值范围为：；

（2）如图：

∵当时，

∴

∵当时，

∴

∵点是半径为的的相邻点

∴且

∴点在以点为圆心，半径为的圆内，且不能以点为圆心，半径为的圆上

∵点在轴上

∴点的横坐标取值范围为：．

故答案是：（1）①点和点②见详解③（2）

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