Question

如图，在⊙O中AB是直径，D是上半圆中点，E是下半圆中点．点C是圆上一点（不与B、E重合）连接AD、BD、AC、BC．设BC长度为n，AC长度为m．
（1）当m=8，n=6时，求四边形ACBD的面积S；
（2）用含m、n的式子表示四边形ACBD的面积S；
（3）你可知道tan∠DAC=

m+n

m-n

吗？请你详细说明理由；
（4）如图，当点C运动至弧AD或弧BD上时，（3）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接写答案）

Answer 1

分析：（1）过D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC于N；由于D是弧AB的中点，则AD=BD，可通过证△AMD≌△BDN来得出四边形DMCN是正方形的结论，从而可将四边形ACBD转化为正方形DMCN的面积；
（2）同（1）；
（3）由（1）知：DM=MC=

1

2

（m+n），即可表示出AM的长，进而可在Rt△AMD中，求出tan∠DAC的表达式，进而可验证所给出的结论是否正确；
（4）本题可通过作C点关于O点的对称点进行转换，参照上面的解题思路，作出对应的正方形，此时AC∥CN∥DM，那么∠CAD=∠ADM，此时发现本题与（3）题完全相同，所以结论和证法也相同．

解答：解：（1）49；（2分）

（2）（6分）S=

1

4

(m+n)2；

（3）解：①②如图：
延长CB，过D点作DN垂直CB延长线于N，过D点作DM⊥MC于M．
∵∠DMC=∠ACB=∠N=90°
∴四边形DMCN为矩形
∴MDN=90°又∠ADB=90°
∴∠1=∠2
∵

∠1=∠2 ∠AMD=∠DNB AD=BD

∴△AMD≌△DNB
∴AM=BN，DM=DN
∴矩形DMCN为正方形
∴AC+BC=MC+NC
∴DM=MC=CN=

m+n

2

∴S_{正方形DMCN}=MC²=S=

1

4

(m+n)2
∴AM=AC-MC=m-

m+n

2

=

m-n

2

∴tan∠DAC=

m+n

m-n

；（10分）

4）Ⅰ、当点C运动至

AD

时tan∠DAC=

m-n

m+n

；
Ⅱ、当点C运动至

BD

时tan∠DAC=

n-m

m+n

．（12分）
可通过做C点关于O点的对称点进行转换（提示：tan∠CAD=tan∠ADM）再参照第②题的做法进行解答（辅助线如图，证明过程略）亦可连接AC、BD交于一点，或以CD为对角线构造正方形进行证明，请同学们自己思考．

点评：此题考查了圆周角定理、正方形和矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识的综合应用能力，能够发现四边形ACBD与正方形的面积关系是解答此题的关键．