Question

如图，点A、B是双曲线y=(k＞0)上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF(阴影部分)，且S_阴影＝1，△AGB的面积为2．

(1)求双曲线的解析式；

(2)在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF(阴影部分)，点A、B在运动过程中始终保持S_阴影＝1不变(如图)，则△AGB的面积是否会改变？说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵四边形OCGF是正方形，∴OC＝CG＝GF＝OF，∠CGF＝90°． 　　∵OC2＝，∴OC＝CG＝GF＝OF＝1．　　1分 　　∴点A的横坐标为1，点B纵坐标为1． 　　∵点、是双曲线上的点， 　　∴点A的纵横坐标为，点B横坐标为． 　　∴AC＝，BF＝． 　　∴AG＝－1，BG＝－1．　　3分 　　∵∠AGB＝∠CGF＝90°， 　　∴S△AGB ＝AG·BG＝＝2．　　4分 　　解得＝3(取正值)． 　　∴反比例函数的解析式为．　　6分 　　(2)点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变，理由如下： 　　设矩形OCGF的边OC＝m，∵＝ OC·OF＝1，∴OF＝． 　　∴点A的横坐标为m，点B纵坐标为．　　7分 　　∵点、是双曲线上的点， 　　∴点A的纵横坐标为，点B横坐标为．　　8分 　　∴AC＝，BF＝3m．又FG＝OC＝m，CG＝OF＝． 　　∴AG＝ AC－CG＝－＝，BG＝BF－FG＝3m－m＝2m．　　10分 　　∴S△AGB ＝AG·BG＝··2m＝2． 　　∴点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变．　　12分