Question

13．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标．

解答 解：（1）∵对称轴为直线x=2，
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）²+k．
将A（-1，0），C（0，5）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=0}\\{4a+k=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=9}\end{array}\right.$，
∴y=-（x-2）²+9=-x²+4x+5．

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
设P（x，-x²+4x+5），
如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=-x²+4x+5，
∴MN=ON-OM=-x²+4x+4．

S_{四边形MEFP}=S_梯形OFPN-S_△PMN-S_△OME
=$\frac{1}{2}$（PN+OF）•ON-$\frac{1}{2}$PN•MN-$\frac{1}{2}$OM•OE
=$\frac{1}{2}$（x+2）（-x²+4x+5）-$\frac{1}{2}$x•（-x²+4x+4）-$\frac{1}{2}$×1×1
=-x²+$\frac{9}{2}$x+$\frac{9}{2}$
=-（x-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{153}{16}$，
∴当x=$\frac{9}{4}$时，四边形MEFP的面积有最大值为$\frac{153}{16}$，
把x=$\frac{9}{4}$时，y=-（$\frac{9}{4}$-2）²+9=$\frac{143}{16}$．
此时点P坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{143}{16}$）．

点评 此题考查抛物线与x轴的坐标特点，待定系数法求函数解析式，组合图形的面积，求得函数解析式，利用函数的性质解决问题．