Question

（1）先化简，再求值：(x+2-

5

x-2

)÷

x-3

x-2

，其中x=

5

-3；
（2）若a=1-

2

，先化简再求

a2-1

a2+a

+

a2-2a+1

a2-a

的值；
（3）已知a=

2

+1，b=

2

-1，求a²-a²⁰⁰⁵b²⁰⁰⁶+b²的值；
（4）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，

化简：

(a+1)2

+2

(b-1)2

-|a-b|；
（5）观察下列各式及验证过程：
N=2时有式①：2×

2 3

=

2+ 2 3

N=3时有式②：3×

3 8

=

3+ 3 8

式①验证：2×

2 3

=

23 3

=

(23-2)+2 22-1

=

2(22-1)+2 22-1

=

2+ 2 3

式②验证：3×

3 8

=

33 8

=

(33-3)+3 32-1

=

3(32-1)+3 32-1

=

3+ 3 8

①针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时变化的式子；
②请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
（6）已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）+m²=0有两个实数根x₁和x₂．    ①求实数m的取值范围；②当x₁²-x₂²=0时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）（2）（3）代数式化简，首先把代数式利用分式计算法则和因式分解进行化简，然后x，a的值代入求原代数式的值．第3题关键将a²⁰⁰⁵b²⁰⁰⁶转化为（ab）²⁰⁰⁵b；
（4）根据算术平方根和绝对值的非负性化简；
（5）根据算式找出根号内分母变化的规律即n²-1；
（6）用根的判别式求m的取值范围，根与系数的关系变形求m的值并检验．

解答：解：
（1）原式=

x2-4-5

x-2

×

x-2

x-3

=x+3，
把x=

5

-3代入原式得

5

；

（2）原式=

(a+1)(a-1)

a(a+1)

+

|a-1|

a(a-1)

=

(a-1)

a

+

|a-1|

a(a-1)

，
∵a=1-

2

＜0，
∴原式=

a-1

a

-

1

a

=2

2

+3；

（3）∵a=

2

+1，b=

2

-1，
∴ab=1，
∴a²-a²⁰⁰⁵b²⁰⁰⁶+b²=a²-（ab）²⁰⁰⁵b+b²=a²-b+b²=7-

2

；


（4）由图知，a＜-1，b＞1，
则原式=-（a+1）+2（b-1）+（a-b）
=b-3；

（5）①4×

4 15

=

4+ 4 15

；
②n×

n n2-1

=

n3 n2-1

=

n+ n n2-1

．

（6）①由题意有△=（2m-1）²-4m²≥0，解得m≤

1

4

，
即实数m的取值范围是m≤

1

4

；
②由x₁²-x₂²=0得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0．
若x₁+x₂=0，即-（2m-1）=0，
解得m=

1

2

，
∵

1

2

＞

1

4

，∴m=

1

2

不合题意，舍去．
若x₁-x₂=0，即x₁=x₂
则△=0，由（1）知m=

1

4

．
故当x₁²-x₂²=0时，m=

1

4

．

点评：此题主要考查代数式化简，找规律列代数式，根的判别式及根与系数的关系．