Question

（2011•淮安二模）如图，在直角坐标系xOy中，直线y=

1

2

x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形（1，-4），使AD=

5

．
（1）求点A，点B的坐标，并求边AB的长；
（2）过点D作DH⊥x轴，垂足为H，求证：△ADH∽△BAO；
（3）求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由直线的解析式，可得到点A、B的坐标，根据勾股定理，即可得到AB的长；
（2）由垂直和矩形的性质，可得∠ADH+∠DAH=90°，∠BAO+∠DAH=90°，即∠BAO=∠ADH，又∵∠AOB=∠DHA=90°，即可证得；
（3）由△ADH∽△BAO，可得到

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

BA

，代入数值，即可求得DH、AH的长，即可得到．

解答：（1）解：∵直线y=

1

2

x+2，
∴可得A（-4，0），B（0，2），
∴在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

．

（2）证明：∵DH⊥x轴，四边形ABCD是矩形，
∴∠ADH+∠DAH=90°，∠BAO+∠DAH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠AOB=∠DHA=90°，
∴△ADH∽△BAO．

（3）解：∵△ADH∽△BAO，
∴

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

BA

，
即

DH

4

=

AH

2

=

5

2 5

，
∴DH=2，AH=1，
∴D（-5，2）．

点评：本题是一次函数的应用，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用．