Question

8．如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC．求证：
（1）四边形EBFD是菱形；
（2）BM：OE=3：2．

Answer 1

分析 （1）先证得∠ABO=∠OBF=30°，再证得OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；
（2）根据三角函数求得MB=$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，OF=$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，根据OE=OF即可求得MB：OE=3：2．

解答 解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
在△OBF与△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{FO=FC}\\{BF=BF}\\{OB=BC}\end{array}\right.$
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∵∠OBC=60°，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
在△AOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，

（2）∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，
∴MB=$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，OF=$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∵OE=OF，
∴MB：OE=3：2．

点评 本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．