已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边AB上任意一点，联结DC，过点C 作CE⊥CD，垂足为点C ，联结DE ，使得∠EDC＝∠A，联结BE ．

（1）求证： AC ·BE ＝BC · AD；

（2）设 AD＝x，四边形BDCE的面积为S ，求S 与x之间的函数关系式及x的取值范围；

（3）当时，求tan∠BCE 的值．

已知如图1，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标是（0，-1），连接、.

 （1）求出直线的解析式；

   （2）如图2，若在直线上方的抛物线上有一点，当的面积最大时，有一线段（点在点的左侧）在直线上移动，首尾顺次连接点、、、构成四边形，请求出四边形的周长最小时点的横坐标；

 （3）如图3，将绕点逆时针旋转（），记旋转中的为，若直线与直线交于点_，直线与直线交于点_，当是等腰三角形时，求的值.

在中，以为斜边，作直角，使点落在内，．

（1）如图1，若，，，点分别为、边的中点，连接，求线段的长；

（2）如图2，若，把绕点逆时针旋转一定角度，得到，连接并延长交于点，求证：；

（3）如图3，若，过点的直线交于点，交于点，，且，请直接写出线段之间的关系（不需要证明）．

把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

，

，

所以32和70都是“快乐数”．

（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；

（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．　

2016年5月29日，中超十一轮，重庆力帆将主场迎战河北华夏幸福，重庆“铁血巴渝”球迷协会将继续组织铁杆球迷到现场为重庆力帆加油助威．“铁血巴渝”球迷协会计划购买甲、乙两种球票共500张，并且甲票的数量不少于乙票的3倍．

（1）求“铁血巴渝”球迷协会至少购买多少张甲票；

（2）“铁血巴渝”球迷协会从售票处得知，售票处将给予球迷协会一定的优惠，本场比赛球票以统一价格(m+20)元出售给该协会，因此协会决定购买的票数将在原计划的基础上增加(m+10)%，购票后总共用去56000元，求m的值．

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于两点.已知：,，点的坐标为．

（1）求该反比例函数的解析式和点的坐标；

（2）点在射线上，且，求的面积.

为了掌握某次数学模拟考试卷的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组：第一组75～90；第二组90～105；第三组105～120；第四组120～135；第五组135～150．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题：

请将频数分布直方图补充完整；若老师找到第五组中一个学生的语文、数学、英语三科成绩，如下表.老师将语文、数学、英语成绩按照3:5:2的比例给出这位同学的综合分数.求此同学的综合分数.

已知如图，点在一条直线上，,//,．

   求证：.