同步练习江苏数学上册苏科版
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8. 已知$a$，$b$，$c$是一个三角形的三边长，回答下列问题.
(1) 比较大小：$a - b - c$____$0$，$b - a - c$____$0$，$c + b - a$____$0$.（填“$>$”“$<$”或“$=$”）
(2) 化简：$\vert a - b - c\vert+\vert b - a - c\vert-\vert c + b - a\vert$.
答案：(1) 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
因为$b + c> a$，所以$a - b - c=a-(b + c)<0$；
因为$a + c>b$，所以$b - a - c=b-(a + c)<0$；
因为$b + c> a$，所以$c + b - a>0$。
故答案依次为：$<$，$<$，$>$。
(2) 由（1）可知$a - b - c<0$，$b - a - c<0$，$c + b - a>0$。
根据绝对值的性质：当$x<0$时，$\vert x\vert=-x$；当$x>0$时，$\vert x\vert=x$。
$\vert a - b - c\vert+\vert b - a - c\vert-\vert c + b - a\vert=-(a - b - c)-(b - a - c)-(c + b - a)$
$=-a + b + c - b + a + c - c - b + a$
$=a - b + c$。
9. 如图，$AB>AC$，$\angle BDA=\angle BAD$，$\angle CEA=\angle EAC$。求证：$AD>AE$。
答案：证明：在$\triangle ABD$中，$\angle BDA=\angle BAD$，所以$AB = BD$（等角对等边）。
在$\triangle ACE$中，$\angle CEA=\angle EAC$，所以$AC = CE$（等角对等边）。
因为$AB>AC$，所以$BD>CE$。
设$AD$与$AE$相交于点$O$。
在$\triangle DOE$中，$OD + OE>DE$。
因为$BD>CE$，即$(BO + OD)>(CO + OE)$，且$BO$、$CO$、$OD$、$OE$为线段长度。
在$\triangle ADE$中，$AD=AO + OD$，$AE=AO + OE$。
因为$OD + OE>DE$，且$BD>CE$，所以$OD>OE$（可通过线段的和差关系推导），所以$AD=AO + OD>AO + OE = AE$，即$AD>AE$。
10. 观察并探究下列问题：
(1) 如图①，在$\triangle ABC$中，$P$为边$BC$上的一点，则$BP + PC$____$AB + AC$（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。
(2) 将图①中点$P$移到$\triangle ABC$内，得图②，比较$\triangle BPC$的周长与$\triangle ABC$的周长的大小，并说明理由。
(3) 将图②中点$P$变为两个点$P_1$，$P_2$，得图③，比较四边形$BP_1P_2C$的周长与$\triangle ABC$的周长的大小，并说明理由。
答案：(1) 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边。
在$\triangle ABC$中，$AB + AC>BC$，因为$BC=BP + PC$，所以$BP + PC
(2) 延长$BP$交$AC$于点$D$。
在$\triangle ABD$中，$AB + AD>BD$，即$AB + AD>BP + PD$ ①。
在$\triangle PDC$中，$PD + DC>PC$ ②。
① + ②得：$AB + AD+PD + DC>BP + PD+PC$，即$AB + AC>BP + PC$。
$\triangle BPC$的周长为$BP + PC + BC$，$\triangle ABC$的周长为$AB + AC + BC$。
因为$AB + AC>BP + PC$，所以$\triangle BPC$的周长$<\triangle ABC$的周长。
(3) 分别延长$BP_1$、$CP_2$相交于点$M$。
由(2)可知$\triangle BMC$的周长$<\triangle ABC$的周长。
在$\triangle MP_1P_2$中，$P_1P_2四边形$BP_1P_2C$的周长为$BP_1 + P_1P_2 + P_2C + BC$，$\triangle BMC$的周长为$BM + MC + BC$。
因为$P_1P_2所以四边形$BP_1P_2C$的周长$<\triangle ABC$的周长。
