Question

【题目】已知函数有两个不同的极值点，，且．

（1）求实数的取值范围；

（2）设上述的取值范围为，若存在，使对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

试题分析：(1)注意函数的定义域,对函数求导,令，则，根据方程有两个不等正根，求出的范围；(2)求出函数在上的单调性,并求出最大值,已知恒成立转化为恒成立,设，则的最小值大于即可,讨论函数的单调性,求出的范围.

试题解析：（1），

令，则，

根据题意，方程有两个不等正根，则即

解得，

故实数的取值范围是．

（2）由，得．

即或，

所以在和上是增函数，

因为，则，所以在上是增函数，

当时，

．

由题意，当时，恒成立，即

，即恒成立，

设，

则．

（1）当时，因为，则，所以在上是减函数，

此时，，不合题意．

（2）当时，若，即，因为，则，，

所以在上是增函数，此时，符合题意．

若，即，则，

当时，，则，所以在上是减函数，

此时，，不合题意．

综上可知，的取值范围是．