Question

【题目】已知函数， ，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性.

（Ⅱ）试判断曲线与是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

(1)对函数求导可得，求解不等式和可得在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.

(2)假设曲线与存在公共点且在公共点处有公切线，由题意可知

，据此有式即.结合函数， 的性质可知方程在上有唯一实数根，据此可得曲线与的公切线的方程为.

试题解析：

（Ⅰ），令得.

当且时， ；当时， .

所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）假设曲线与存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为，则

，即，其中（2）式即.

记， ，则，得在上单调递减，在上单调递增，又， ， ，故方程在上有唯一实数根，经验证也满足（1）式.

于是， ， ，曲线与的公切线的方程为，即.