Question

【题目】已知抛物线：上一点到焦点的距离为4，动直线交抛物线于坐标原点O和点A，交抛物线的准线于点B，若动点P满足，动点P的轨迹C的方程为．

（1）求出抛物线的标准方程；

（2）求动点P的轨迹方程；

（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②范围；③渐近线；④时，写出由确定的函数的单调区间．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析．

【解析】

(1)根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离列式求解即可.

(2)求出的坐标,利用动点P满足,求出动点P的轨迹C的方程即可.

(3)根据(2)中所得的方程直接得出结论即可.

(1)由题意,,所以

所以抛物线的标准方程为

(2)设,则与抛物线方程联立,可得,即,与联立,可得.因为,所以,所以,故,.

消去可得

(3)由,可得

①因为,,故关于轴对称；

②范围：,则.即

又当时, ,

故,即或.

故,

③因为分母为,故渐近线

④当时,因为,所以由确定的函数为,即

,

当时,单调递减；当时,单调递增

故在上递减,在上递增.

综上所述,

①关于轴对称

②,

③渐近线

④时,由确定的函数在上递减,在上递增