Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+ x2 ， 且函数g（x）有极大值点x0 ， 求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣2x，则 ﹣2，x＞0， ∴f（1）=﹣2，f′（1）=﹣1，
∴函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．
（Ⅱ）不等式f（x）≤1，即lnx﹣2ax≤1，∴2ax≥lnx﹣1，
∵x＞0，∴2a≥ 恒成立，
令φ（x）= （x＞0），则φ′（x）= ，
当0＜x＜e2时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当x＞e2时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
∴当x=e2时，φ（x）取得极大值，也为最大值，故φ（x）max=φ（e2）= ，
由2a≥ ，得a≥ ，∴实数a的取值范围是[ ，+∞）．
（Ⅲ）证明：由g（x）=f（x）+ x2= ，得 ，
①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意；
②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x0和x′，
∵x0为函数g（x）的极大值点，∴0＜x0＜x′，
由 =1， ，知a＞1，0＜x0＜1，
又由g′（x0）= =0，得a= ，
∵ =﹣ ，0＜x0＜1，
令h（x）=﹣ ，x∈（0，1），则 ，
令 ，x∈（0，1），则 ，
当 时，μ′（x）＞0，当 时，μ′（x）＜0，
∴μ（x）max=μ（ ）=ln ＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）=0，
∴x0f（x0）+1+ax02＞0．
【解析】（Ⅰ）当a=1时， ﹣2，由此利用导数的几何意义能求出函数f（x）的图象在x=1处的切线方程．（Ⅱ）由不等式f（x）≤1，得2a≥ 恒成立，令φ（x）= （x＞0），则φ′（x）= ，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）由g（x）=f（x）+ x2= ，得 ，分类讨论求出a= ，由x0f（x0）+1+ax02=﹣ ，令h（x）=﹣ ，x∈（0，1），则 ，利用构造法推导出h′（x）＜0，由此能证明x0f（x0）+1+ax02＞0．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．