Question

【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 （t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）设点P（m，0），若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA||PB|=1，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由ρ=2cosθ，得：ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，

∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1．

由 （t为参数），得x= ，即x﹣ ，

∴直线l的普通方程为x﹣ ．

（2）解：将 代入（x﹣1）2+y2=1，得：（ ）2+（ ）2=1，

整理得： ，由△＞0，即3（m﹣1）2﹣4（m2﹣2m）＞0，

解得：﹣1＜m＜3．设t1，t2是上述方程的两实根，则 ，t1t2=m2﹣2m，

又直线l过点P（m，0），由上式及t的几何意义得|PA||PB|=|t1t2|=|m2﹣2m|=1，

解得：m=1或m=1 ，都符合﹣1＜m＜3，

因此实数m的值为1或1+ 或1﹣ ．

【解析】（1）由ρ=2cosθ，得：ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程，直线l的参数方程中消去参数得到其普通方程．（2）首先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程中的参数t消去化为普通方程，把直线的参数方程代入圆的标准方程得到关于t的一元二次方程，由于直线与圆有两个交点，方程有两个实根，所以要求判别式为正，解得m的范围，利用根与系数关系表示t1t2，利用直线的参数方程参数t的几何意义可知|PA||PB|=|t1t2|=|m2﹣2m|=1，解出m后要求符合m的范围即可；