Question

【题目】已知点，椭圆的离心率为是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．

（1）求E的方程；

（2）设过点且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两M、N，且，求k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由题意可知：ac，利用直线的斜率公式求得c的值，即可求得a和b的值，求得椭圆E的方程；

（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得直线l的方程．

解：（1）由离心率e，则ac，

直线AF的斜率k2，则c＝1，a，

b2＝a2﹣c2＝1，

∴椭圆E的方程为；

（2）设直线l：y＝kx﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），

则，整理得：（1+2k2）x2﹣kx+4＝0，

△＝（﹣k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2，

∴x1+x2，x1x2，

∴，

即,

解得：或（舍去）

∴k＝±，