Question

【题目】已知函数， ．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）是否存在实数，对任意的， ，且，有恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在实数.

【解析】试题分析：（1）可得在上递减，在上递增，因此在时取得最小值；（2）讨论三种情况: ， ， ,分别由得增区间， 得减区间；（3）恒成立等价于恒成立，构造函数，即是函数在为增函数，只需恒成立，可得，即， .

试题解析：（1）显然函数的定义域为，

当时， ．

∴当时， ， 时， ．

∴在时取得最小值，其最小值为．

（2）∵，

∴①当时，若时， ， 为增函数；

时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数．

②当时， ， 为增函数；

③当时， 时， ， 为增函数；

时， ， 为减函数；

时， ， 为增函数．

（3）假设存在实数使得对任意的， ，且，有，

即．

令，只要在为增函数，又函数．

考查函数．

要使在恒成立，只要，即，

故存在实数时，对任意的， ，且，有恒成立．