Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2 ， 离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 =λ ．
（1）证明：λ=1﹣e2；
（2）若λ= ，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；
（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，

所以A、B的坐标分别是（﹣ ，0），（0，a）．

由 得 这里c= ．

所以点M的坐标是（﹣c， ）．

由 =λ 得（﹣c+ ， ）=λ（ ，a）．

即 ，解得λ=1﹣e2

（2）解：当λ= 时，e= ，所以a=2c．

由△PF1F2的周长为6，得2a+2c=6．

所以a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．

椭圆方程为 ．

（3）解：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，

即 |PF1|=c．

设点F1到l的距离为d，由 |PF1|=d= = =c．

得 =e．

所以e2= ，于是λ=1﹣e2= ．

即当λ= 时，△PF1F2为等腰三角形

【解析】（1）先根据A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点表示出A、B的坐标，然后联立直线方程与椭圆方程可得到交点M的坐标，再根据 =λ 得（﹣c+ ， ）=λ（ ，a）根据对应坐标相等可得到 ，从而得到λ=1﹣e2 ， 等证．（2）当λ= 时可得到e的值，进而得到a，c的关系，再由△PF1F2的周长为6可得到2a+2c=6，进而可求出a，c的值，从而可得到b的值，确定椭圆方程．（3）根据PF1⊥l，可得到∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，进而要使得△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 |PF1|=c成立，然后设点F1到l的距离为d，根据 |PF1|=d= =c可得到 =e，进而可得到e的值，求出λ的值．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．