Question

(本小题满分14分)已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；

(Ⅲ)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

（本小题满分14分）

解: (Ⅰ) 因为的垂直平分线交 于点. 所以

 

所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………2分

设椭圆的标准方程为

则，，则椭圆的标准方程为……4分

(Ⅱ) 设，则     ①

因为

则     ②

由①②解得……………7分

所以直线的斜率……………8分

(Ⅲ)直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:

   得…………9分

由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，

设则

假设在轴上存在定点，满足题设，则

因为以为直径的圆恒过点,

则，即:  (*)

因为

则(*)变为…………11分

 

由假设得对于任意的,恒成立，

即解得……13分

因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.………………14分