Question

【题目】已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在上，连结并延长至点，使得，设点的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)设为坐标原点，点，连结交于点，若直线的斜率与直线的斜率存在且不为零，证明: 这两条直线的斜率之比为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】试题分析：（1）由椭圆方程可得焦点坐标为，由可得，结合点在上可得，设出坐标，利用两点间距离公式可得结果；（2）设，直线的斜率为，直线的斜率为，利用两点间斜率计算公式可得， 满足圆的方程， 满足椭圆的方程，当时，可直接计算，当时，由点在直线上，故斜率相等，平方结合等比定理化简可得，结合，代入可得最后结果.

试题解析：（1）设椭圆的长轴为，短轴长为，焦距为，则，所以.因为，所以，又点在上，故，所以.设，则，化简得.所以.

（2）设，直线的斜率为，直线的斜率为，则， ，所以.因为，则，同理，当时， 或，此时.当时，因为在直线上，则，所以，而 ，因为，所以，又，可得，所以 .综上，两条直线的斜率之比为定值2.