Question

已知m，n∈R，且m+2n=2，则m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹的最小值为______．

Answer 1

∵2n=2-m
∴f（m）=m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹=m•2^m+（2-m）•2^2-m
令g（m）=m•2^m，h（m）=（2-m）•2^2-m
当m≤0时，h（m）为增函数，且h（m）≥h（0）=8
g（m）=-|m|•2^-|m|由于从y=x与y=2^x的图象易知，|m|≤2^|m|，所以|m|•2^-|m|≤1，
g（m）=-|m|•2^-|m|≥-1
f（m）=g（m）+h（m）≥-1+8=7
当m≥2时，由g（m）与h（m）关于x=1对称，同上可得f（m）≥7
当 0＜m＜2时，g（0）=h（2）=0，g（2）=h（0）=8
g'（m）=（mln2+1）2^m＞0，h'（m）=-[（2-m）ln2+1]2^2-m＜0 且g'（m），h'（m）均为单调递增
当0＜m＜1时，g'（m）＜g'（1）=2（ln2+1），h'（m）＜h（1）=-2（2ln2+1），
f′（m）=g'（m）+h'（m）＜0单调递减
当1≤m＜2时，同理，可得f′（m）=g'（m）+h'（m）≥g'（1）+h'（1）=0单调递增（当m=1时等号成立）
所以当m=1时，f（m）取最小值，
即当m=1，n=

1

2

时，m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹的最小值为4
故答案为：4