Question

【题目】如图，在三棱锥中，，，，，，且在平面上的射影在线段上．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设二面角为，求的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证；因为在平面上的射影在线段上，所以，又根据勾股定理可得，因此（Ⅱ）求二面角，一般方法为利用空间向量，即先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量之间相等或互补的关系求二面角

试题解析：（Ⅰ）证明：，，，

，

，．

（Ⅱ）解：（法一）作垂足为，连接，

则为二面角的平面角．

在中，，，，

，，，

在中，，，

，

，又，，又，，

．

（法二）在中，，，，

，，，

在中，，，

又，，又，，

如图建立直角坐标系，

，，，，

平面的法向量为，

平面的法向量为，

．