Question

【题目】如图，菱形的对角线与相交于点，平面，四边形为平行四边形.

（1）求证：平面平面；

（2）若，，点在线段上，且，求平面与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据条件先证得，再由∥得，，于是平面，进而可得结论成立．（2）由题意得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再求出两法向量的夹角的余弦值，进而可得所求正弦值．

（1）证明：∵四边形为菱形，

∴．

∵平面，平面，

∴．

又四边形为平行四边形，

∴∥，

∴，，

∵，

∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

（2）∵平面，

∴，.

∵，，

∴，

∴四边形为正方形．

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

∴，，，，

，

∵，

∴，

设平面的法向量为，

则，令，得．

同理可求得平面的一个法向量．

∴,

∴，

∴平面与平面所成角的正弦值为．