Question

【题目】如图，在极坐标系中，，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.

（1）分别写出，，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.

Answer 1

【答案】（1）线的极坐标方程为：，的极坐标方程为：，，的极坐标方程分别为：，；（2），

.

【解析】

（1）在极坐标系下，在曲线上任取一点，直角三角形中，

，曲线的极坐标方程为：，同理可得其他.

（2）当时，，，当，，

计算得到答案.

（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，

则在直角三角形中，，，，得：.

所以曲线的极坐标方程为：

又在曲线上任取一点，则在中，，，，

，，由正弦定理得：，

即：，化简得的极坐标方程为：

同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，

解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）

由题意可知，，，的直角坐标方程为：

，，

，，

所以，，，的极坐标方程为：，

，，

（2）当时，，，

当时，，，

所以点的极坐标为，