【题目】随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数
一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市
名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下：
室外工作 | 室内工作 | 合计 | |
有呼吸系统疾病 |
| ||
无呼吸系统疾病 |
| ||
合计 |
|
（Ⅰ）补全列联表；
（Ⅱ）你是否有
的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为
的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率.
临界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）有
的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）根据题中条件，直接完善列联表即可；
（Ⅱ）根据公式，求出
，与临界值表比较，即可得出结果；
（Ⅲ）先由分层抽样得到样本中有呼吸系统疾病的抽
人，记为A、B、C、D，无呼吸系统疾病的抽
人，记为E、F；用列举法，写出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.
（Ⅰ）列联表如下：
室外工作 | 室内工作 | 合计 | |
有呼吸系统疾病 | 150 | 200 | 350 |
无呼吸系统疾病 | 50 | 100 | 150 |
合计 | 200 | 300 | 500 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
，
所以有的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
（Ⅲ）采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈；
则有呼吸系统疾病的抽
人，记为A、B、C、D，
无呼吸系统疾病的抽
人，记为E、F；
从这6人中抽两人，有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF 、CD、CE、CF、DE、DF、EF，共15种抽法；
“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”，有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种情况；
所以两人都有呼吸系统疾病的概率为
.
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【题目】如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．
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【题目】
已知函数
在区间
，
内各有一个极值点．
（I）求
的最大值；
（II）当
时，设函数
在点
处的切线为
，若在点
处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数
的表达式．
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【题目】在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩
(同一组中数据用该组区间中点作代表)；
（2）由直方图可认为考生竞赛z成绩服正态分布
，其中
，
分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差
，那么该区4000名考生成绩超过84.41分(含84.81分)的人数估计有多少人？
附：①
，
；②
，则
，
.
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【题目】把
，
，
，
四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分到，，不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有__________种（用数字作答）．
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【题目】为了调查某地区70岁以上老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了100位70岁以上老人，结果如下：
男 | 女 | |
需要 | 18 | 5 |
不需要 | 32 | 45 |
（1）估计该地区70岁以上老人中，男、女需要志愿者提供帮助的比例各是多少？
（2）能否有
的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区70岁以上老人中，需要志愿者提供帮助的老人的比例？说明理由.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，
.
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【题目】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
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【题目】如图，在极坐标系
中，
，
，
，
，
，弧
，
所在圆的圆心分别是
，
，曲线
是弧，曲线
是线段
，曲线
是线段
，曲线
是弧.
（1）分别写出，，，的极坐标方程；
（2）曲线
由，，，构成，若点
，（
），在上，则当
时，求点
的极坐标.
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【题目】为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．
（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的
列联表．
甲班 | 乙班 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
下面临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式： 
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