Question

【题目】如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点．

（1）若直线平分线段，求证：．

（2）若直线的斜率，直线、、的斜率成等差数列，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用点差法可证得结论成立；

（2）令，可得直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用直线、、的斜率成等差数列，可得出关于的等式，然后利用函数的基本性质可求得实数的取值范围.

（1）设、，线段的中点，由题意可得，

上述两式相减得，可得，

，，则，

因此，；

（2）由，令，则直线的方程为，

由得，恒成立，

由韦达定理得，，

因为直线、、的斜率成等差数列，

所以，，

，

，

，即，

，，

由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，

当时，，所以，.

因此，实数的取值范围是.