Question

【题目】已知抛物线：，点是上的不同于顶点的动点，上在点处的切线分别与轴轴交于点、．若存在常数满足对任意的点都有．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）过点作的垂线与交于不同于的一点，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）先求导数，利用导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，即得、坐标，根据坐标化简，最后根据等式恒成立得，的值；

（Ⅱ）先设，根据向量垂直坐标表示得与横坐标关系，再根据两点间距离公式得、，最后根据三角形面积公式得面积函数关系式，利用导数求其最值，即得结果.

（Ⅰ）设，则，

，

即．

分别与轴轴交于点、

，．

，

∵存在常数满足对任意的点都有∴．

（Ⅱ）设，

∵，，故，即

又，故的面积为

取，则．

∴在上是减函数，在上是增函数．

∴当时，的最小值是．

故面积的最小值是．