Question

 [2012·天津卷] 如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.

(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；

(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；

(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

图1－4

Answer 1

解：(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．

在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2.

所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

 (2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.

(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.

由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．

在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°.

在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝.

由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.

在Rt△PCB中，PB＝＝.

在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝.

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.