Question

【题目】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直．

（1）求的单调区间；

（2）设，对任意，证明：．

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出，根据曲线在点处的切线与轴垂直即切线斜率为，求出的值，解即得函数的单调递增区间和递减区间；（2）由于，所以整理得，分别证明时，和，根据（1）可知：当时，由（1）知成立；当时，，，即证，构造函数，利用导数研究其在单调性，求出其在上的最大值即可证得，再构造函数，利用导数求出其最小值，根据不等式的性质即可得到要证明的结论.

试题解析：（1）因为，由已知得，∴．

所以，

设，则，在上恒成立，即在上是减函数，

由知，当时，从而，当时，从而．

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）因为，要证原式成立即证成立，

现证明：对任意恒成立，

当时，由（1）知成立；

当时，，且由（1）知，∴．

设，则，

当时，，当时，，所以当时，取得最大值． 所以，即时，．

综上所述，对任意．①

令，则恒成立，所以在上递增，

恒成立，即，即．②

当时，有；当时，由①②式，，

综上所述，时，成立，故原不等式成立