Question

【题目】已知函数 ．
（1）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（2）设数列{an}的通项an=1+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，f（0）=0，

f′（x）= = ，

∴f′（0）=0

欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，

当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，

若0＜λ＜ 时，由f′（x）＞0解得x＜ ，则当0＜x＜ ，f′（x）＞0，所以当0＜x＜ 时，f（x）＞0，此时不合题意，

若λ≥ ，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0

恒成立，

综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥ ，即λ的最小值为

（2）解：令λ= ，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即

取x= ，则

于是a2n﹣an+ = + +…+ +

=

=

=

= ＞ =ln2n﹣lnn=ln2

所以

【解析】（1）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（2）根据（1）的证明，可取λ= ，由于x＞0时，f（x）＜0得出 ，考察发现，若取x= ，则可得出 ，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数和数列的前n项和，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．