Question

【题目】如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，.

（1）求曲线和的方程；

（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

Answer 1

【答案】（1）椭圆方程为，抛物线方程为； （2）见解析。

【解析】

（1）因为在椭圆中2a＝|AF1|+|AF2|6，所以可求曲线C1方程．因为曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点．|AF1|，|AF2|，所以利用抛物线定义，可求曲线C2方程；

（2）先设出B、C、D、E四点坐标，过F2作的与x轴不垂直的直线方程，在分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数关系，求的值，看结果是否为定值．

（1）设椭圆方程为，则，得

设，，则，，

两式相减得，由抛物线定义可知，

则，或，（舍去）

所以椭圆方程为，抛物线方程为。

另解：过作垂直于x轴的直线，即抛物线的准线，作AH垂直于该准线，

作轴于，则由抛物线的定义得，

所以

，

，得，所以c＝1，

，

所以椭圆方程为，抛物线方程为。

（2）设，，，，

直线，代入得，，即，

则，

同理，将代入得：，

则，，

所以

为定值.