Question

（本题满分14分）

如图所示，已知曲线与曲线交于点O、A，直线(0<t≤1)与曲线C₁、C₂分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB。

（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式；

（2）求函数在区间上的最大值。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由

解得或（2分）∴O（0，0），A（a,a²）。

又由已知得B（t,-t²+2at）,D(t,t²),

∴  

     …… 6分

（2）=t²-2at+a²,令=0，即t²-2at+a²=0。解得t=(2-)a或t=(2+)a.

∵0<t≤1,a>1,  ∴t=(2+)a应舍去。  即t=(2-)a                    8分

若(2-)a≥1,即a≥时， ∵0<t≤1，∴≥0。

∴在区间上单调递增，S的最大值是=a²-a+.            10分

若(2-)a<1,  即1<a<时，

当0<t<(2-)a时，.                                      

当(2-)a<t≤1时，.

∴在区间(0, (2-)a]上单调递增，在区间[(2-)a，1]上单调递减。

∴=(2-)a是极大值点，也是最大值点                                 12分

∴的最大值是f((2-)a)=[ (2-)a]³-a[(2-)a]²+a²(2-)a=.13分

综上所述。   …… 14分【解析】略