Question

已知点M到点F(0，1)和直线l:y=-1的距离相等，求点M的轨迹方程．

Answer 1

解:设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P={M||MF|=|MQ|}，其中Q是点M到直线y=-1的垂线的垂足．

    由两点间距离公式及点到直线的距离公式得=|y+1|，

    将上式两边平方得x²+(y-1)²=(y+1)²，化简得y=x².                        ①

    下面证明方程①是所求轨迹的方程．

    (1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；

    (2)设点M₁的坐标(x₁，y₁)是方程①的解，那么y₁=x₁²，

    即x₁²+（y₁-1）²=（y₁+1）²，=|y₁+1|，|M₁F|=|M₁Q₁|．

    其中Q₁是点M₁到直线?y=-1的垂线的垂足,因此点M₁是曲线上的点．

    由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如下图所示．