Question

已知点M到点F(0,1)和直线l:y=-1的距离相等,求点M的轨迹方程.

Answer 1

解:设点M的坐标为(x,y),点M的轨迹就是集合P=｛M||MF|=|MQ|｝,其中Q是点M到直线y=-1的垂线的垂足.由两点间距离公式及点到直线的距离公式得,将上式两边平方得x²+(y-1)²=(y+1)²,化简得.    ①

下面证明方程①是所求轨迹的方程.

(1)由求方程的过程可知,曲线上的点的坐标都是方程①的解；

(2)设点M₁的坐标(x₁,y₁)是方程①的解,那么,即x₁²+(y₁-1)²=(y₁+1)²,,|M₁F|=|M₁Q₁|.其中Q₁是点M₁到直线y=-1的垂线的垂足,因此点M₁是曲线上的点.

由(1)(2)可知,方程①是所求轨迹的方程,图形如上图所示.