Question

（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.

证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） ，而，即，代入上式，∴，  所以为定值.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，，  ………1分

而，  ……………2分

且.   ……………3分

解得，    ……………4分

所以，椭圆的方程为.         ………5分

（2）.设，，     ……………6分

直线的方程为，令，则，

即；    ……………8分

直线的方程为，令，则，

即；   ……………10分

 ……………12分

而，即，代入上式，

∴，  所以为定值.   ………14分

考点：椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用；直线方程的点斜式；直线方程的斜率公式。

点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题定值或定点问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．