Question

 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆C两个焦点的距离之和为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l：y＝kx－2与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直线l的方程．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解:　(1)由已知2a＝6，e＝＝，

解得a＝3，c＝，所以b²＝a²－c²＝3，

所以椭圆C的方程为＋＝1.…………………3分

(2)由得，(1＋3k²)xkx＋3＝0，

因为直线l与椭圆C有两个不同的交点，

所以Δ＝144k (1＋3k²)>0，解得k²>.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的中点为E，

则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－4＝k·－4＝－，

所以AB的中点坐标为E，

因为|PA|＝|PB|，所以PE⊥AB，k_PE·k_AB＝－1，

所以·k＝－1，

解得k＝1或k＝－1，经检验，符合题意．

所以直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.…………………………………9分