Question

如图，△ABC和△A₁AC是正三角形，平面A₁AC⊥底面ABC，A₁B₁⊥∥AB，A₁B₁=AB=2，
（I）求直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值大小；
（II）已知点D是A₁B₁的中点，在平面ABCD内搁一点E，使DE⊥平面AB₁C，求点E到AC和B的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意及图形，有已知的面面垂直得到空间中从同一定点出发的三条两两垂直的直线进而建立空间直角坐标系，在利用空间向量知识求出线面角；
（2）由题意及图形利用线面平行的性质进和在三角形中进而求解．

解答：解：∵平面A₁AC⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于点O，
∴A₁O⊥底面ABC．
又A₁B₁=AB=2，△ABC和△A₁AC是正三角形，知∠ABC=∠A₁AC=60°，
∴AO=1，OA1=OB=

3

，BO⊥AC（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，A1(0，

3

，0)，C（0，1，0），

AA1

=(0，1，

3

)．
由

AA1

=

BB1

，可得B1(

3

，1，

3

)．
∴

AB

1=(

3

，2，

3

)，

AC

=(0，2，0)
设平面AB₁C的法向量为

n

=(x，y，1)，则

n • AB1 = 3 x+2y+ 3 =0 n • AC =2y=0

，
解得

n

=(-1，0，1)
由cos＜

AA1

，

n

＞=

AA1 • n

| AA1 |•| n |

=

3

2 2

=

6

4

而AA₁与平面AB₁C所成角，即向量

AA1

与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角，
所以直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为

6

4

；

（Ⅱ）连接A₁B，取AC中点O，连接A₁O、BO，
易得A₁O⊥AC，所以AC⊥平面A₁OB，AC⊥A₁B，又四边形AA₁B₁B是正方形，所以AB₁⊥A₁B，
又A₁B⊥AC，∴A₁B⊥平面AB₁C，过D作DF∥A₁B，
很明显DF交AB于E，此时点E到AC和B的距离分别是1、

3 3

2

．

点评：（1）此问重点考查了利用空间向量的知识求解线面角的三角函数值；
（2）此问重点考查了直线与平面平行求解点到线的距离，还考查了在三角形中求解两点间的距离．