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    (本题满分14分)设函数f (x)＝x3＋ax2－(2a+3)x+ a2 , a∈R．

    (Ⅰ) 若x＝1是f (x)的极大值点，求实数a的取值范围；

    (Ⅱ) 设函数g(x)＝bx2－(2b＋1)x＋ln x (b≠0,b∈R),若函数f (x)有极大值，且g(x)的极大值点与f (x)的极大值点相同．当时，求证：g(x)的极小值小于－1．

    满分14分。

        (Ⅰ) 解: f ′(x)＝3x2＋2ax－(2a+3)＝(x－1)(3x＋2a＋3)．由于x＝1是f (x)的极大值点 ，故，即a <－3    …………………………7分

     (Ⅱ) 解: f ′(x)＝3x2＋2ax－(2a+3)＝(x－1)(3x＋2a＋3)．

    g ′(x)＝＋2bx－(2b＋1)＝．

    由于函数f (x)有极大值，故，即．

    当 a＞－3时，即，则f (x)的极大值点，

    所以，g(x)的极大值点，极小值点为x＝1．

    所以，，

    此时，g(x)的极小值g(1)＝b－(2b＋1)＝－1－b<－<－1．………………14分

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     （II）证明：函数具有下面的性质：对于任意，都存在，使得等式成立。 

     

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    本题满分14分）

    设函数.

    （1）若，求函数的极值；

    （2）若，试确定的单调性；

    （3）记，且在上的最大值为M，证明：．

     

     

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