Question

【题目】（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为．求双曲线的标准方程；

（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于两点，且P是线段AB的中点，求证：为常数；

（3）我们知道函数的图象是由双曲线的图象逆时针旋转45°得到的，函数的图象也是双曲线，请尝试写出曲线的性质（不必证明）．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）详见解析

【解析】

（1）根据双曲线的性质求得双曲线的方程；

（2）方法一：设A，B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得；

方法二：分类讨论，设直线AB的方程，分别求得A和B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得；

（3）根据曲线方程，分别求得曲线的性质．

（1）设双曲线的方程为，由，

由双曲线的渐近线方程为，则，则，

∴双曲线的方程为：；

（2）法一：由题不妨设，则，

则P在双曲线上，代入双曲线方程得

法二：当直线AB的斜率不存在时，显然，则；

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为

则，则，

同理，则，

此时，，代入双曲线方程得，则

（3）①对称中心：原点，对称轴方程：，

②顶点坐标为，焦点坐标：，，

实轴长：，虚轴长：2b=2，焦距：2c=4；

③范围：x≠0，，

④渐近线：．