Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在区间上的最值；

（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）若不等式在区间上恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函数的最大值为，函数的最小值为；（2）或；（3）1.

【解析】

（1）求，判断在区间上的单调性，即求函数在区间上的最值；

（2）函数在上是单调函数，则或在上恒成立，即得实数的取值范围；

（3）求出.分，，三种情况讨论，求出不等式在区间上恒成立时，实数的取值范围，即求的最小值.

（1）当时，，，

	0
			极小值
	0	单减		单增

显然，

则函数的最大值为，函数的最小值为；

（2）当函数在上单调递增时，

当且仅当，即恒成立，得；

当函数在上单调递减时，

当且仅当，即恒成立，得；

综上，若函数在上是单调函数，实数的取值范围为或；

（3），且，

当时，在区间上，得；

当时，在区间上，得恒成立；

当时，由，故存在，

使得成立，

同时在区间上，，在区间上单调递减，

，所以在区间上小于零.

综上，不等式在区间恒成立时，.

的最小值为1.