Question

【题目】已知点，点在轴负半轴上，以为边做菱形，且菱形对角线的交点在轴上，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点，其中，作曲线的切线，设切点为，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意，求得菱形中心的坐标，进而由中心为中点，求得点坐标的参数形式，即可消参求得点的轨迹方程；

（2）利用导数几何意义求得点处的切线方程，从而求得点坐标，据此求得之间的关系，再结合，即可表示出面积，将其转化为关于的函数，利用函数单调性求函数值域即可.

（1）设，菱形的中心设为Q点，且在轴上，

由题意可得

则又为的中点，因此点，

即点的轨迹为（为参数且）

化为标准方程为.

（2）设点，则点的切线方程为.

可得

因此由，可得

又则

即

因此

令，则，故为单调增函数，

故可知当时，为关于的增函数，

又当时，；当时，.

因此的取值范围是.