【题目】用电阻值分别为
、
、
、
、
、
的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论.
【答案】见解析
【解析】
设6个电阻的组件（如图）的总电阻为
.当
，
、
是
、
的任意排列时，最小.
证明如下：
1°设当两个电阻、并联时，所得组件阻值为R，则
，故交换二电阻的位置，不改变R值，且当或变小时，R也减小，因此不妨取
.
2°设3个电阻的组件（如图）的总电阻为
.有
显然，
越大，越小，所以，为使最小，必须取
为所取三个电阻中阻值最小的一个.
3°设4个电阻的组件（如图）的总电阻为
.
有
若记
，
，
则
、
为定值
于是，
只有当
最小，最大时，
最小，故应取
，
，
，即得总电阻的阻值最小.
4°对于图，把由、、组成的组件用等效电阻代替，要使
最小，由3°必需使
；且由1°，应使
最小，由2°知要使最小，必需使
，且应使最小.
而由3°，要使最小，应使
，且
.
这就说明，要证结论成立.
寒假学与练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．
（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差
、
，并根据结
果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？
（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（请写出式子在写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
（1）共有多少种方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 |
|
|
|
|
| 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在
且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在
使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用
表示这3人中年龄在
的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形， 另一个是边长为 1 的正三角形.那么， 这个三棱锥的体积大小 （ ）.
A. 有惟一确定的值 B. 有 2 个不同值
C. 有 3 个不同值 D. 有 3 个以上不同值
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为
，
，
，
，
，
，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A.成绩在的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线
的参数方程是
（
是参数，
），直线
的参数方程是
（
是参数），曲线与直线有一个公共点在
轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若点
，
，
在曲线上，求
的值．
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