【题目】已知点P为直线上任意一点,
,M为平面内一点,且
.
(Ⅰ)求点M的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点P作曲线E的切线,切点分别是.若
,求点P的坐标.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
或
.
【解析】
(Ⅰ)根据题意可知点到点
的距离等于它到直线
的距离,由抛物线的定义即可写出点M的轨迹E的方程;
(Ⅱ)依题可设点,切线方程为
,根据直线与抛物线相切,可得
,求解出根与系数的关系,再设出直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,即可用
表示出切点
坐标,然后根据两点间的距离公式列出方程,结合根与系数的关系即可解出.
(Ⅰ)设点,
交直线
于点N,
因为,所以
,
即点M的轨迹E是以F为焦点,直线为准线的抛物线.
因为,所以
,所以点M的轨迹E的方程为
.
(Ⅱ)设点,显然切线的斜率存在且不为0,设斜率为
,
则切线方程为,
代入得,
,
,所以
.
设直线的斜率为
,直线
的斜率为
,
则.
设切点坐标为,由
有两个相等实数根,
得,所以切点坐标为
,
即切点,
所以
,
其中,
所以,
所以,即
,解得
,即
.
故点P的坐标为或
.
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【题目】法国的数学家费马(PierredeFermat)曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想:当整数时,找不到满足
的正整数解.该定理史称费马最后定理,也被称为费马大定理.费马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法,只是书页的空白处不够无法写下.费马也因此为数学界留下了一个千古的难题,历经数代数学家们的努力,这个难题直到1993年才由我国的数学家毛桂成完美解决,最终证明了费马大定理的正确性.现任取
,则等式
成立的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】武汉某商场为促进市民消费,准备每周随机的从十个热门品牌中抽取一个品牌送消费券,并且某个品牌被抽中后不再参与后面的抽奖,没有抽中的品牌则继续参加下周抽奖,假设每次抽取时各品牌被抽到的可能性相同,每次抽取也相互独立.
(1)求某品牌到第三次才被抽到的概率;
(2)为了使更多品牌参加活动,商场做出调整,从第一周抽取后开始每周会有一个新的品牌补充进抽取队伍,品牌A从第一周就开始参加抽奖,商场准备开展半年(按26周计算)的抽奖活动,记品牌A参与抽奖的次数为X,试求X的数学期望(精确到0.01).
参考数据:,
.
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【题目】2020年1月10日,中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一,他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础,在气象预报中,过往的统计数据至关重要,如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上,则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上,则称该年为高温年,假设每年是否为高温年相互独立,以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.
(1)求今后4年中,甲地至少有3年为高温年的概率.
(2)某同学在位于甲地的大学里勤工俭学,成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长,为了减少高温年带来的损失,该同学现在有两种方案选择:方案一:不购买遮阳伞,一旦某年为高温年,则预计当年的收入会减少6000元;方案二:购买一些遮阳伞,费用为5000元,可使用4年,一旦某年为高温年,则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期,试分析该同学是否应该购买遮阳伞?
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【题目】如图,在平面直角系中,点A为曲线C:
在第一象限的图象上的动点,点E,G在曲线C的准线
上,且点G在x轴的下方,圆O与准线相切,直线
交曲线C于点B,交圆O于点D,H.
(1)当点H为曲线C的焦点,时,求
;
(2)当点O为的内心时,若
,求点A的坐标.
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【题目】已知点,过点
作抛物线
的两切线,切点为
.
(1)求两切点所在的直线方程;
(2)椭圆,离心率为
,(1)中直线AB与椭圆交于点P,Q,直线
的斜率分别为
,
,
,若
,求椭圆的方程.
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【题目】地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆,根据开普勒行星运动第二定律,可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积,某同学结合物理和地理知识得到以下结论:①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时,地球分别位于图中点和
点;②已知地球公转轨道的长半轴长约为
千米,短半轴长约为
千米,则该椭圆的离心率约为
.因此该椭圆近似于圆形:③已知我国每逢春分(
月
日前后)和秋分(
月
日前后),地球会分别运行至图中
点和
点,则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天.以上结论正确的是( )
A.①B.①②C.②③D.①③
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