【题目】已知函数
(1)当时,求函数的极值;
(2)若对于任意实数,当时,函数的最大值为,求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值为,极小值为.(2)
【解析】
(1)当时,,求其导函数,由导函数在不同区间内的符号判断原函数的单调性;
(2)由题意.当时,由原函数的单调性可得不存在实数,使得当,时,函数的最大值为(b);当时,令,有,,然后分,和三类求解.
解:(1)当时,,则,
整理得,
令得当变化时,变化如下表:
极大值 | 极小值 |
由上表知函数的极大值为,极小值为.
(2)由题意,
1°当时,函数在上单调递增,在上单调递减,此时,不存在实数,使得当时,函数的最大值为.
2°当时,令,有,,
①当时,函数在上单调递增,显然符合题意.
②当即时,函数在和上单调递增,在上单调递减,在处取得极大值且,只需,解得,又,所以此时实数的取值范围是.
③当即时,函数在和上单调递增,在上单调递减,要存在实数,使得当时,函数的最大值为,需,
代入化简得
令,因为恒成立,
故恒有,所以时,恒成立,
综上,实数的取值范围是
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.
(1)求的普通方程;
(2)设为圆上任意一点,求的最大值.
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【题目】某工厂新购置甲、乙两种设备,分别生产A,B两种产品,为了解这两种产品的质量,随机抽取了200件进行质量检测,得到质量指标值的频数统计表如下:
质量指标值 | 合计 | ||||||
A产品频数 | 2 | 6 | a | 32 | 20 | 10 | 80 |
B产品频数 | 12 | 24 | b | 27 | 15 | 6 | n |
产品质量2×2列联表
产品质量高 | 产品质量一般 | 合计 | |
A产品 | |||
B产品 | |||
合计 |
附:
(1)求a,b,n的值,并估计A产品质量指标值的平均数;
(2)若质量指标值大于50,则说明该产品质量高,否则说明该产品质量一般.请根据频数表完成列联表,并判断是否有的把握认为质量高低与引入甲、乙设备有关.
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,左顶点为,离心率为,点是椭圆上的动点,的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点,,线段的中垂线为.若直线与直线相交于点,与直线相交于点,求的最小值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数),曲线上异于原点的两点,所对应的参数分别为.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,直线平分曲线,求的值;
(2)当时,若,直线被曲线截得的弦长为,求直线的方程.
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