Question

若关于实数x的不等式|x-1|-|x-2|≤a²-a-3的解集是空集，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由绝对值的意义可得|x-1|-|x-2|的最小值为-1，当关于实数x的不等式|x-1|-|x-2|≤a²-a-3的解集是空集时，应有a²-a-3＜-1，由此解得a的范围．

解答：解：由于|x-1|-|x-2|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
故|x-1|-|x-2|的最小值为-1，
故当关于实数x的不等式|x-1|-|x-2|≤a²-a-3的解集是空集时，应有a²-a-3＜-1，
解得-1＜a＜2，
故答案为：（-1，2）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．