Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx﹣ ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求函数f（x）对称中心的坐标；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为A＞0，所以f（x）max=A+1=3，

所以A=2，

又因为f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，

所以 = ，

所以T=π，

故ω= =2，

所以f（x）=2sin（2x﹣ ）+1．

令2x﹣ =kπ（k∈Z），

所以x= + （k∈Z），

故对称中心为（ + ，1）（k∈Z）；

（2）解：∵x∈[0， ]，

∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（2x﹣ ）∈[ ，1]，

∴f（x）=2sin（2x﹣ ）+1∈[0，3]

所以函数f（x）在区间[0， ]上的值域为：[0，3]．

【解析】首先根据函数的最值和对称轴之间的距离确定A和ω，进一步求出正弦型函数的解析式．（1）根据正弦函数图象性质求得函数f（x）对称中心的坐标；（2）根据正弦函数图象的性质求值域．
【考点精析】通过灵活运用正弦函数的单调性和正弦函数的对称性，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；正弦函数的对称性：对称中心；对称轴即可以解答此题．