Question

【题目】已知函数f（x）= ，（ω＞0），其最小正周期为 ．
（1）求f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+m=0在区间 上有且只有一个实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：

= ，

由题意知f（x）的最小正周期 ， ，

所以ω=2，

所以 ．

（2）解：将f（x）的图象向右平移 个单位后，得到y=sin4x的图象；

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象，

所以g（x）=sinx，g（x）+m=0在区间 上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=﹣m在区间 上有且只有一个交点，

由正弦函数的图象可知 ，

解得 ，

所以实数m的取值范围是 ．

【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）= ，由题意及周期公式可求ω的值，即可得解．（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=sinx，在区间 上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=﹣m在区间 上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可解得实数m的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．