Question

如图所示,曲线段OMB是函数f(x)=x²(0＜x＜6)的图象,BA⊥x轴于点A,曲线段OMB上一点M(t,f(t))处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q.

(1)试用t表示切线PQ的方程;

(2)设△QAP的面积为g(t);若函数g(t)在(m,n)上单调递减,试求出m的最小值;

(3)试求g(t)的取值范围.

Answer 1

解：(1)设点M(t,t²),又f′(x)=2x,

∴过点M的切线PQ的斜率k=2t.

∴切线PQ的方程为y=2tx-t².

(2)由(1)可求得P(,0)、Q(6,12t-t²),

∴g(t)=S_△QAP=(6-t)(12t-t²)=-6t²+36t.

    由于g′(t)=-12t+36,

    令g′(t)＜0,则4＜t＜12,考虑到0＜t＜6,

∴4＜t＜6.

∴函数g(t)的单调递减区间是(4,6).

因此m的最小值为4.

(3)由(2)知,g(t)在区间(4,6)上递减,

∴此时S_△QAP∈(g(6),g(4))=(54,64).

    令g′(t)＞0,则0＜t＜4,

∴g(t)在区间(0,4)上递增.

∴S_△QAP∈(g(0),g(4))=(0,64).

    又g(4)=64,

    故g(t)的值域为(0,64］.