Question

【题目】已知圆关于直线对称，圆心C在第二象限，半径为．

（1）求圆C的方程．

（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，写出满足条件的直线条数（不要求过程）；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，4条.

【解析】

（1）圆关于直线对称，则圆心在直线上，设圆的标准方程，即可求解；

（2）分直线过原点和不过原点两类情况，讨论直线和圆相切分别求解.

（1）圆关于直线对称，则圆心在直线上，

设圆心，在第二象限，则，即，

圆的标准方程为：

化为一般方程：，

则，解得：，或（舍去），

所以圆C的方程：；

（2）由题直线l与圆C相切，直线在x轴、y轴上的截距相等，

当直线过原点时，斜率必存在，设斜率为，直线方程与圆相切，

则圆心到直线距离等于半径，即，

，，有两个不等实根，即有两条过原点的直线与圆相切；

当直线不过原点时，设直线方程，与圆相切，

，得，解得或，两条直线，

所以一共4条直线.